15 特征值和特征向量
15.1 定义
设存在n阶矩阵A:
\[A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} &...& a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} &...& a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} &...& a_{3n}\\
& & ......\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn}\\
\end{bmatrix}
\]
对于n阶矩阵\(A\)，若存在数\(\lambda\)、n维非零列向量\(x\)，使：
\[\tag{1}
A \cdot x=\lambda \cdot x
\]
则称数\(\lambda\)为矩阵A的\(特征值\)，称\(x\)为A对应于\(\lambda\)的\(特征向量\)
15.2 相关性质
由定义$A \cdot x=\lambda \cdot x $可得：
\[(A-E\lambda)\cdot x=
\]
\[\tag{2}
\begin{bmatrix}
a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13} &...& a_{1n}\\
a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23} &...& a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}-\lambda &...& a_{3n}\\
& & ......\\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn}-\lambda\\
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
...\\
x_n
\end{bmatrix}
=
O
\]
\[式(2)为齐次方程，且x存在非零解
\]
由上可推出以下性质：
\[\begin {array}{c}
性质1&由克莱姆法则可知：|A-\lambda \cdot E|=0\\\\
性质2&\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}\\\\
性质3&\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot...\cdot\lambda_n=|A|\\\\
性质4&(1)A^2的特征值是\lambda^2 ；(2)A^{-1}特征值是\frac{1}{\lambda}（A可逆 ） \\\\
性质5&由性质4可得\varphi(\lambda)是\varphi(A)的特征值（\varphi()表示多项式）\\\\
性质6&\lambda_1，\lambda_2，...，\lambda_n各不相等 \Rightarrow 对应的特征向量线性无关
\end {array}
\]
性质4相关证明过程如下：
（1）由\(Ax=\lambda x\)得：
\[A^2 x=A \cdot \lambda x
\]
\[\Rightarrow A^2 x=\lambda^2 x
\]
（2）由\(Ax=\lambda x\)得：
\[x=\lambda x \cdot A^{-1}
\]
\[\Rightarrow \frac{1}{\lambda}\cdot x=A^{-1} \cdot x
\]
15.3 特征值、特征向量求解示例
15.3.1 示例1：二阶矩阵的求解
设存在矩阵：
\[A=
\begin{bmatrix}
3&-1\\
-1&3
\end{bmatrix}
\]
A的特征值求解过程如下：
\[|A-\lambda \cdot E|=
\begin{vmatrix}
3-\lambda&-1\\
-1&3-\lambda
\end{vmatrix}
=(3-\lambda)^2-1
\]
\[\qquad\qquad\quad
=8-6\lambda+\lambda^2
=(4-\lambda)\cdot(2-\lambda)
\]
由性质1可知：
\[(4-\lambda)\cdot(2-\lambda)=0 \Rightarrow (\lambda_1=4,\lambda_2=2)
\]
设A对应\(\lambda_1=4\)的特征向量为\(p_1\)，则\(p_1\)求解过程如下：
\[由：
(A-\lambda_1 \cdot E)\cdot x=0
可得：
\]
\[\begin{bmatrix}
3-4&-1\\
-1&3-4
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0\\
0
\end{bmatrix}
\]
\[\qquad\quad\;
\Rightarrow-x_1-x_2=0
\]
\[ \qquad \qquad \qquad \qquad \quad x_1=-x_2
\]
则\(p_1\)可取值为：
\[p_1=
k \cdot
\begin{bmatrix}
1\\
-1
\end{bmatrix}
(k\in R,k \neq 0)
\]
同理，设A对应\(\lambda_2=2\)的特征向量可取值为\(p_2\)，则：
\[p_2=
k \cdot
\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix}
(k\in R,k \neq 0)（求解过程略）
\]
15.3.2 示例2：三阶矩阵的求解（有亏损的情况）
设存在如下矩阵：
\[A=
\begin{bmatrix}
-1&1&0\\
-4&3&0\\
1&0&2
\end{bmatrix}
\]
A的特征值求解过程如下：
\[|A-\lambda \cdot E|=
\begin{vmatrix}
-1-\lambda&1&0\\
-4&3-\lambda&0\\
1&0&2-\lambda
\end{vmatrix}=0
\]
将上式按第3列展开，得：
\[（2-\lambda）\cdot [(-1-\lambda)\cdot(3-\lambda)+4]=0
\]
\[(2-\lambda)\cdot(1-2\lambda+\lambda^2)=0
\]
\[(2-\lambda)\cdot(\lambda-1)^2=0
\]
解得：
\[\lambda_1=2，\lambda_2=\lambda_3=1
\]
设A对应\(\lambda_1=2\)的特征向量为\(p_1\)，则\(p_1\)求解过程如下：
\[A-\lambda \cdot E=
\begin{bmatrix}
-3&1&0\\
-4&1&0\\
1&0&0
\end{bmatrix}
\]
上式中，第3列为全0，故可进行\(矩阵初等行变换\)，尽量接近或等价于矩阵标准形：
\(r_1 - r_2\)：
\[=
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
-4&1&0\\
1&0&0
\end{bmatrix}
\]
\(r_2 + 4r_3\)：
\[=
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
1&0&0
\end{bmatrix}
\]
\(r_3 - r_1\)：
\[=
\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\]
上式中，第3行为全0，可产生1个\(自由变量\)
由\((A-\lambda \cdot E)\cdot x=0\)得：
\[\begin{bmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}
\]
\[\Rightarrow x_1=0，x_2=0
\]
设：\(x_3\)为自由变量，且\(x_3=1\)
可解得：
\[p_1=
k \cdot
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}
(k\in R,k \neq 0)
\]
设A对应\(\lambda_2=\lambda_3=1\)的特征向量为\(p_2,p_3\)，则\(p_2,p_3\)求解过程如下：
\[A-\lambda \cdot E=
\begin{bmatrix}
-2&1&0\\
-4&2&0\\
1&0&1
\end{bmatrix}
\]
根据观察，可进行\(初等行变换\)，尽量接近或等价于矩阵标准形：
\(r_2 \cdot \frac{1}{2}\)：
\[=
\begin{bmatrix}
-2&1&0\\
-2&1&0\\
1&0&1
\end{bmatrix}
\]
\(r_2+2r_3\)：
\[\begin{bmatrix}
-2&1&0\\
0&1&2\\
1&0&1
\end{bmatrix}
\]
\(r_1-r_2\)：
\[\begin{bmatrix}
-2&0&-2\\
0&1&2\\
1&0&1
\end{bmatrix}
\]
\(r_1+3r_3\)：
\[\begin{bmatrix}
1&0&1\\
0&1&2\\
1&0&1
\end{bmatrix}
\]
\(r_3-r_1\)：
\[\begin{bmatrix}
1&0&1\\
0&1&2\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\]
\(上式中，第3行为全0，故按行乘以x\)
\(由(A-\lambda \cdot E)\cdot x=0得：\)
\[\begin{bmatrix}
1&0&1\\
0&1&2\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}
\]
\[\Rightarrow
\begin {cases}
x_1+x_3=0 \\
x_2+2x_3=0 \\
\end {cases}
\]
\(由第3行为全0，可设x_3为自由变量且x_3=1，可解得：\)
\[p_2=p_3=
k \cdot
\begin{bmatrix}
-1\\
-2\\
1
\end{bmatrix}
(k\in R,k \neq 0)
\]
*总结：
\[一般情况下，三阶矩阵应产生3个特征值、3个特征向量。
\]
\[而本案例中，共产生2个特征值（\lambda_1,\lambda_2=\lambda_3），2个特征向量（p_1,p_2=p_3），因此产生了亏损
\]
15.3.3 示例3：三阶矩阵的求解（无亏损的情况）
设存在如下矩阵：
\[A=
\begin{bmatrix}
-2&1&1\\
0&2&0\\
-4&1&3
\end{bmatrix}
\]
A的特征值求解过程如下：
经过观察，可将\(|A-\lambda \cdot E|\)的第2行按行展开
\[|A-\lambda \cdot E|=(2-\lambda) \cdot
\begin{vmatrix}
-2-\lambda&1\\
-4&3-\lambda
\end{vmatrix}
\]
\[=(2-\lambda) \cdot [(-2-\lambda) \cdot (3-\lambda)+4]
\]
\[=(2-\lambda) \cdot (-2-\lambda+\lambda^2)
\]
\[=(2-\lambda) \cdot (\lambda+1)(\lambda-2)
\]
解得：
\[\lambda_1=-1，\lambda_2=\lambda_3=2
\]
设A对应\(\lambda_1=-1\)的特征向量为\(p_1\)，则\(p_1\)求解过程如下：
\[(A-\lambda_1 \cdot E)=
\begin{bmatrix}
-1&1&1\\
0&3&0\\
-4&1&4
\end{bmatrix}
\]
根据观察，可对上式进行\(初等行变换\)，使结果接近或等价于矩阵标准形：
\(r_1-r_4\)：
\[=
\begin{bmatrix}
3&0&-3\\
0&3&0\\
-4&1&4
\end{bmatrix}
\]
\(r_1\cdot \frac{1}{3}\)：
\[=
\begin{bmatrix}
1&0&-1\\
0&3&0\\
-4&1&4
\end{bmatrix}
\]
\(r_2\cdot \frac{1}{3}\)：
\[=
\begin{bmatrix}
1&0&-1\\
0&1&0\\
-4&1&4
\end{bmatrix}
\]
\(r_3+4r_1\)：
\[=
\begin{bmatrix}
1&0&-1\\
0&1&0\\
0&1&0
\end{bmatrix}
\]
\(r_3-r_2\)：
\[=
\begin{bmatrix}
1&0&-1\\
0&1&0\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\]
\(由(A-\lambda_1 \cdot E)\cdot x=0得\)：
\[\begin{bmatrix}
1&0&-1\\
0&1&0\\
0&0&0
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}
\]
\((A-\lambda_1 \cdot E)\)第3行为全0（存在1个自由变量），故可按行乘以\(x\)，有：
\[\begin {cases}
x_1=x_3\\
x_2=0
\end {cases}
\]
设\(x_3\)为自由变量且\(x_3=1\)，可解得：
\[p_1=
k \cdot
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}
(k\in R,k \neq 0)
\]
设A对应\(\lambda_2=\lambda_3=2\)的特征向量为\(p_2,p_3\)，则\(p_2,p_3\)的求解过程如下：
\[(A-\lambda_2\cdot E)=
\begin{bmatrix}
-2-2&1&1\\
0&2-2&0\\
-4&1&3-2
\end{bmatrix}
\]
\[=
\begin{bmatrix}
-4&1&1\\
0&0&0\\
-4&1&1
\end{bmatrix}
\]
经过观察，可对上式进行\(初等行变换\)，使结果接近或等价于矩阵标准形：
\(r_2 \leftrightarrow r_3\)：
\[\begin{bmatrix}
-4&1&1\\
-4&1&1\\
0&0&0\\
\end{bmatrix}
\]
\(r_2-r_1\)：
\[\begin{bmatrix}
-4&1&1\\
0&0&0\\
0&0&0\\
\end{bmatrix}
\]
由\((A-\lambda_2\cdot E)x=0\)得：
\[\begin{bmatrix}
-4&1&1\\
0&0&0\\
0&0&0\\
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}
\]
经过观察，第2行、第3行为全0（产生2个自由变量），可按行乘以\(x\)得：
\[-4x_1+x_2+x_3=0
\]
设\(x_1,x_2\)为自由变量
若\(x_1=1，x_2=0\)，可解得：
\[p_2
=
k \cdot
\begin{bmatrix}
1\\
0\\
4\\
\end{bmatrix}
(k \in R,k\neq 0)
\]
若\(x_1=0，x_2=1\)，可解得：
\[p_3
=
k \cdot
\begin{bmatrix}
0\\
1\\
-1\\
\end{bmatrix}
(k \in R,k\neq 0)
\]
*总结：
\[本案例中，虽仅产生2个特征值（\lambda_1,\lambda_2=\lambda_3），但特征向量产生了3个（p_1,p_2，p_3），因此无亏损
\]
15.3.4 示例4：矩阵多项式的特征值求解
设存在某三阶矩阵A，其特征值为：\(\lambda_1=1，\lambda_2=-1，\lambda_3=2\)
求\(A*+3A-2E\)的特征值。
求解过程如下：
\[由A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}得：
\]
\[A^*+3A-2E=A^{-1}\cdot|A|+3A-2E
\]
\[由|A|=\lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \lambda_3得：
\]
\[A^*+3A-2E=-2A^{-1}+3A-2E
\]
\[由性质4、性质5得：
\]
\[\varphi(A)=A^*+3A-2E=\varphi(\lambda)=-2\cdot \frac{1}{\lambda}+3\lambda-2
\]
\[故A*+3A-2E的特征值为：\varphi(\lambda_1)=-1，\varphi(\lambda_2)=-3，\varphi(\lambda_3)=3
\]
15.3.5 示例5：线性无关性质的应用
设存在某二阶矩阵A，其特征值为：\(\lambda_1、\lambda_2(\lambda_1\neq\lambda_2)\)，对应的特征向量为\(p_1、p_2\)
求证：\((p_1+p_2)\)不是A的特征向量
证明过程如下：
\[设p_1+p_2是A的特征向量，则有：
\]
\[A(p_1+p_2)=\lambda(p_1+p_2)
\]
\[由题意，有：
\]
\[\begin{cases}
Ap_1=\lambda_1p_1\\
Ap_2=\lambda_2p_2
\end{cases}
\Rightarrow A(p_1+p_2)=\lambda_1p_1+\lambda_2p_2
\]
\[则：\lambda_1p_1+\lambda_2p_2=\lambda(p_1+p_2)
\]
\[\Rightarrow (\lambda_1-\lambda) p_1+(\lambda_2-\lambda)p_2=0
\]
\[由性质6\Rightarrow p_1,p_2线性无关
\]
\[\Rightarrow \lambda_1-\lambda=\lambda_2-\lambda=0
\]
\[\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2，与题设相矛盾，故(p_1+p_2)不是A的特征向量
\]